Т_Ерритория б_Ез им_Ени

Ресурс разрабатывался с целью преодоления граничащего с преступлением недостатка информации и тех. средств в области геомеханики и комплексной обработки массивов цифровой информации (ни один пакет: Maple, Mathematica, и даже MathCad и MatLab - не показали должного уровня обработки именно такого типа информации. Delphi даже в расчёт не берётся).

Уже в сентябре 2004 года текущие наработки и собранная литература не позволили автору игнорировать подобное положение вещей.

mykaralw@yandex.ru

Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье заключается в отображении временной функции f(t) в частотную f(ω) с помощью тригонометрического ряда Фурье.

Такое отображение лучше всего представлять в виде операции с комплексными числами z и функциями z(t) и z(ω) и в численных методах имеет вид:

$z\left( t\right) =\sum\limits_{k=0}^{N-1}{\left[{\left({A_k+iB_k}\right)\left({\cos\left({k\cdot t\frac{2\pi}{N}}\right) + i\sin\left( {k\cdot t\frac{2\pi}{N}}\right)}\right)}\right]}$

$A_k+iB_k=\frac{1}{N}\sum\limits_{t=0}^{N-1}{\left[{z\left( t\right)\left({\cos\left({k\cdot t\frac{2\pi}{N}}\right)+i\sin\left({k\cdot t\frac{2\pi}{N}}\right)}\right)}\right]}$

$k=0\ldots N-1$

$z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left( t\right)$

y(t) обычно равно 0.

Если произвести операции умножения и сложить вещественные и мнимые части отдельно получим:

$A_k=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}{\left[{x\left( j\right)\cos\left({\omega j}\right)-y\left( j\right)\sin\left({\omega j}\right)}\right]}$

$B_k=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}{\left[{x\left( j\right)\sin\left({\omega j}\right)+y\left( j\right)\cos\left({\omega j}\right)}\right]}$

$\omega =k\frac{2\pi}{N},k=0\ldots N-1$

Коэффициенты A и B в этом случае являются одним из видов отображения z(t) в z(w):

$z\left(\omega\right)=A_k+iB_k$

$\omega =k\frac{2\pi}{N},k=0\ldots N-1$

Существует и другой способ представления z(w), в виде амплитудочастотной и фазочастотной характеристики.

$A\left(\omega\right)=\sqrt{A_k^2+B_k^2}$

$\varphi\left(\omega\right)=-\arctan\left({\frac{A_k}{B_k}}\right)$

$\omega =k\frac{2\pi}{N},k=0\ldots N-1$

Такой вид более представителен, так как определяет мощность гармоники A(w) и фазовый сдвиг j(w) относительно t = 0.

Разложение в ряд Фурье для дискретных данных принимает симметричный вид относительно средней частоты. Это происходит из-за того, что гармоники высоких частот, складываясь, дают ту же картину дискретных данных, что и низкие, при этом временной ряд дискретных данных не говорит ничего о том из какаих частот он составлен: из низких или из высоких. Если известно, что временной ряд образован низкими частотами, тогда надо прибавить к их амплитудам амплитуды симметричных им высоких частот, а высокие частоты обнулить. Фазовая картина при этом не изменится.

Опубликовано 7 апреля 2006г.

Made in Terra No Names.

Сайт управляется системой uCoz

ТЕрритория бЕз имЕни

Преобразование Фурье.

Т_Ерритория б_Ез им_Ени