А.Н.Каретин. Определение элементов переходной кривой в wxMaxima.

Основной формулой в переходной кривой является формула изменения радиуса от бесконечности вначале до R_kk - в конце.
(%i1) define(p(l),C/l);

Из этого выражения видно, что при l=0 однозначности нет, но при l=L данная зависимость однозначна:

,то есть для круговой кривой радиусом R_kk и переходной кривой длиной L существует толко один параметр переходной кривой C, равный произведению указанных величин.

Для круговой кривой существует зависимость угла поворота в радианах от длины дуги и радиуса:

, это правило действует и для переходной кривой при переходе к бесконечномалым:

, отсюда можно найти угол поворота всей переходной кривой или ее части.
(%i2) df_dl: 1/p(l);

(%i3) define(f(l),integrate(df_dl,l));

Проекции переходной кривой на линию тангенса и перпендикуляр к нему найдем также через бесконечно малые:

, но интегралы от этих выражений напрямую не берутся, поэтому используем вместо них быстросходящееся в точке l=0 разложение в ряд Тейлора.
(%i4) dx_dl: taylor(cos(f(l)),l,0,20);

(%i5) dy_dl: taylor(sin(f(l)),l,0,20);

(%i6) define(x(l),integrate(dx_dl,l));

(%i7) define(y(l),integrate(dy_dl,l));

(%i8) x(L);

(%i9) y(L);

Поворот переходной кривой должен соответствовать повороту круговой кривой.
Решив треугольник при l=L и соответствующим углом поворота определим ту часть из X, которая заменит часть круговой кривой a₁, и остаток, заменяющий часть прямой a.
Для упрощения выражения воспользуемся быстросходящимся разложением в ряд Тейлора в точке l=0.
(%i10) a_1: taylor((p(L)-y(L))*tan(f(L)),L,0,20);

(%i11) a: x(L)-a_1;

Используя приведенные выше элементы, можно построить (скажем в AutoCAD-е или QCAD-е) переходную и круговую кривую.
В этом случае мы увидим, что углы поворота и кривизна обоих кривых совпадают, но между ними существует зазор z.
Воспользуемся опять упомяннутым выше треугольником и определим данный зазор.
Для упрощения выражения воспользуемся быстросходящимся разложением в ряд Тейлора в точке l=0.
(%i12) z: taylor(p(L)-(p(L)-y(L))/cos(f(L)),L,0,20);

Чтобы устранить данный зазор, изменяем радиус круговой кривой с R на (R-z).
Это приводит к небольшому скачку радиуса, но в относительных единицах он составляет ~1/1000.
Это гораздо лучше, чем скачек при непосредственном переходе с прямой на круговую кривую, который в относительных единицах составляет 1/1.

Created with wxMaxima.

Additional design - T_EXgui based mimeT_EX.

Made in Terra No Names.