,
,
,)
к условным координатам (
,
,
).Typeset by OpenOffice.org Writer
При определении геометрии тоннельных колец в маркшейдерском деле обычно используется прием перехода от городских координат (Y,X,H) к координатам тоннеля (ПК,d,dH). Прием стандартный и давно проверенный. Правда он предполагает, что кольцо (чугунное, либо бетонное) расположено в плоскости, нормальной к оси тоннеля. А если нет, как узнать об этом? И можно ли узнать вообще, насколько положение кольца соответствует проекту?
|
? |
/"Кольцо" - конструкция, из которых постепенно составляется подземный тоннель. Состоит из отдельных частей - "тюбингов". Монтируется различными способами. Кольцо состоит из 7 - 10 тюбингов./ |
|
? |
/"Тюбинг" - изделие из чугуна или бетона, представляющее собой часть полого цилиндра, чья дугообразная длина превосходит ширину и на порядок превосходит толщину. Это обеспечивает относительную легкость монтажа сооружений типа "кольца", но не способствует хорошей геометрии данных сооружений./ |
Определение геометрии тоннельного кольца без применения проектных (а соответственно, теоретических данных) и определение соответствия его проектному положению - основная цель данной работы.
Для удобства расчетов и лучшего контроля вычислений перейдем от
истинных (,,,)
к условным координатам (,,).
При этом, мы запомним элементы перехода (
,
,
,).
Так как речь идет о круглом кольце, то нормы координат точек
снятой (задней, либо передней) плоскости данного кольца примерно
равны (
).
Поэтому в качестве базовой модели МНК мы воспользуемся нахождением
стандартной зависимости
от
и.
Данное условие находим, решив систему нормальных уравнений вида:
где
Но здесь возникает нюанс. Ни задняя, ни передняя плоскости кольца
не являются идеально ровными. Более того, наблюдения колец
производятся обычно с помощью электронного тахеометра в
безотражательном режиме, зачастую скользящим лучем (луч тахеометра
отражается от кольца под острым углом). И все это в условиях плохой
освещенности. Обеспечить идеальную точность измерений в таких
условиях невозможно. Ошибки же измерений (даже незначительные)
оказывают существенное влияние на главные компоненты базовой модели
(
,
)
(проверено на практике!). Чтобы избежать влияния ошибок измерений на
эти компоненты, предлагаю следующий метод перехода от базового
решения к альтернативному (и более правдоподобному).
Ищем не одно решение
, а три решения
,
,
и осуществляем «подстановку».
где
и производим выделение
:
где
Это альтернативное решение подавляет даже грубые ошибки измерений и дает наиболее вероятное положение плоскости кольца (проверено на практике!).
При этом использование коэффициента
не делает казалось бы данное решение стабильным. Тем не менее оно
стабильно. Для сомневающихся есть альтернативное решение без
масштабирования, со сдвигом (без подробного вывода подстановок):
Каким вариантом пользоваться, решайте сами. Работоспособны оба (проверено на практике!).
В предыдущей главе были получены элементы плоскости (
и
,
либо
и
).
С помощью этих элементов мы легко найдем параметры поворота системы
координат. Найдем норму этих величин.
либо
Отсюда
При определении элементов ориентирования плоскости кольца (
,
)
не было обозначено в какую из двух сторон должны быть сориентированы
эти элементы. При этом хотелось бы осуществить разворот так, чтобы
левое не путалось с правым. Для этого предусмотрен принудительный
разворот на 180 градусов:
В зависимости от того, как нужно повернуть кольцо, используется
или
,
или
.
Пока не станем находить значение
.
Это пока ни к чему.
Разворот в матричной форме будет выглядеть так:
А в развернутом виде так:
В этих координатах плоскость кольца сориентирована по оси
.
Но при этом все еще наклонена в плоскости
,
где
.
Запомним параметры первого поворота и перейдем к устранению наклона
поверхности.
Наклон тоннельного кольца определим с помощью МНК. При этом учтем,
что тоннельное кольцо практически вертикально и после ориентирования
его по оси
,
норма
намного меньше нормы
(
).
Поэтому модель МНК будет следующей:
Данное условие находим, решив систему нормальных уравнений вида:
где
Решив данную систему, получим параметры необходимые для устранения наклона кольца.
В предыдущей главе были получены элементы наклона плоскости (
и
).
С помощью этих элементов мы легко найдем параметры поворота системы
координат. Найдем норму наклонной плоскости.
Тогда параметры поворота будут следующие:
Разворот в матричной форме будет выглядеть так:
А в развернутом виде так:
В этих координатах кольцо максимально приближено к плоскости (
),
где
.
Запомним параметры второго поворота и перейдем к определению
параметров окружности кольца в плоскости ().
Как упоминалось ранее, в данной работе исследуются круглые кольца. Для другой геометрии колец дальнейшая методика неприменима.
Для построения модели МНК представим уравнение окружности в общем виде:
Отсюда:
Данное условие находим, решив систему нормальных уравнений вида:
где
,
,
Получив из этой системы центр кольца (
,
),
найдем и радиус
:
Зная центр кольца даже в условной системе координат, можно анализировать фактические радиусы. Но помимо этого хотелось бы узнать, как расположен центр кольца относительно проекта. Эту идею мы рассмотрим в следующей главе.
Все параметры вращения и сдвига вычислены в предыдущих главах. Все что надо сделать, совершить вращение и сдвиг в обратную сторону.
Сначала вернем центр кольца в наклонную систему.
Или:
После этого вернем центр колца в ориентированную систему:
Или:
И наконец сдвинем центр кольца в городскую систему координат.
Получив городские координаты центра кольца, можно применять
стандартные методы анализа положения кольца. А именно переход от
,
,
к
,
,
.
Ознакомление с данным материалом рекомендую проводить совместно с прилагаемыми к нему электронными таблицами. Данный материал может содержать огрехи, так как мной досконально не проверялся. В то же время электронные таблицы выверены до запятой.
«... и не будет после нас тьмы.»
А.Н.Каретин
03.06.2010г.
Made in Terra No Names.