Применение Метода Наименьших Квадратов для перехода из одной системы координат в другую.

Общие сведения.

На местности существуют исходные точки, имеющие координаты в общей системе координат (General coordinate system). По некоторым причинам эти координаты в данный момент недоступны, либо их использование не является целесообразным (сложны условия наблюдения: невозможно установить прибор над пунктом из-за расположенного над ним оборудования; невозможно ориентирование прибора из-за техногенных преград; невозможно осуществить приемлемую обратную засечку из-за близости прибора к описывающей исходные пункты окружности;...). В силу этого, съемку определяемых контуров производят в условной системе координат (Local coordinate system), имеющей свою нулевую точку и свое нулевое направление, отличные от этих же элементов в общей системы координат. По ходу съемки, наблюдаются так же и исходные пункты («подхватываются») в условной же системе. При этом, по окончанию работ надо предоставить определяемые контуры в общей системе координат. Данную задачу можно разбить на два этапа:

1) определение сдвига одной системы координат относительно другой;

2) опредениение разворота одной системы координат относительно другой.

Выполнить данную задачу надо используя точки, имеющие координаты и в одной, и в другой системе. Оба этапа задачи хочется сделать достаточно простым и надежным, сводя к минимуму возможность допущения ошибки.

1ый этап. Сдвиг.

Для того, чтобы было удобно не только осуществить сдвиг, но и разворот, лучше всего от обеих систем перейти к некоторым системам с общей нулевой точкой (относительно которой в дальнейшем будет осуществлен разворот). В качестве такой нулевой точки предлагаю выбрать среднее значение координат точек, имеющихся в обоих системах. Эти точки еще называют центрами масс и их очень часто применяют в статистических методах для нахождения зависимостей различных величин. Приводить основания для выбора данных точек в этой статье нет причин. Несогласный с данным выбором может использовать иные нулевые точки, алгоритм обработки от этого вряд ли изменится:

Для возврата обратно к исходным координатам достаточно прибавить к данным «обнуленным» координатам значения координат «центров масс»:

Именно такой простой переход и требовался.

2ой этап. Разворот.

Для простоты разворота используем «обнуленные» координаты. В этом случае разворот достаточно прост, что нам и нужно:

где - угол поворота местной системы координат относительно общей.

Компоненты разворота и связаны между собой строгой зависимостью:

Эта зависимость может серьезно усложнить нахождение элементов поворота, поэтому применим не чистую матрицу разворота, а матрицу разворота с масштабированием:

где - масштабный коэффициет близкий к 1.

Для определения элементов и используем МНК.

Применение МНК для определения элементов разворота.

В качестве критерия МНК в данной задаче выступят разности координат общей системы и вычисленных по местным значениям координат:

Данный критерий будет соблюден, когда его частные производные по неизвестным ( и ) обратятся в 0:

Из последнего выражения легко и надежно определяются неизвестные ( и ).

Определение координат контура в общей системе координат.

После нахождения элементов поворота ( и ) координаты точек контура расчитываются по приведенным выше формулам:

Вот собственно и все. Достаточно просто и в то же время надежно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

К данной статье прилагается электронная таблица. Все неясные моменты выверяйте в ней.

“И не будет после нас тьмы...”

А.Н.Каретин.

27 декабря 2010г.

Made in Terra No Names.